< 암호학 > 대수 구조 - 군 (Group)
군 (Group) 이란?
군은 특정 연산을 만족하는 집합과 그 집합에서 정의된 이항 연산(binary operation)으로 이루어진 대수 구조를 군이라고 합니다.
군을 만족하기 위해서는 집합의 모든 원소가 다음 조건을 만족해야 합니다.
* 대수 구조(Algebraic Structure)란, 집합과 그 위에 정의된 연산들이 특정 규칙(공리)을 만족하는 수학적 구조를 의미함.
군의 조건
1. Closure 닫힘
a, b ∈ G,
then a · b ∈ G
a와 b가 집합에 속하면, a와 b를 연산한 결과도 그 집합에 속해야 합니다.
2. Associative 결합법칙
a, b, c ∈ G,
then (a·b)·c = a·(b·c)
a와 b를 연산하고 c를 연산한 결과가, b와 c를 연산하고 a를 연산한 결과와 같아야합니다.
3. Identity element 항등원
e : e·a = a·e = a
어떤 원소 (모든 원소에 대하여) 와 함께 연산했을 때 연산의 결과로 그 원소를 내어주는 항등원이 집합에 존재해야합니다.
4. Inverses element 역원
a^(-1) : a · a^(-1) = e
집합의 모든 원소에 대하여 함께 연산했을 때 항등원을 내어주는 역원이 집합에 존재해야합니다.
아벨군
a·b = b·a 처럼, 교환법칙이 성립하는 군을 아벨군이라 합니다.
예시
- 정수 덧셈군 (Z,+)
집합 : 정수의 집합 {... , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}
연산: 덧셈 연산
1. 닫힘성: 두 정수의 합은 여전히 정수입니다.
2. 결합법칙: (a+b)+c = a+(b+c) 가 성립합니다.
3. 항등원: a + 0 = a : 0은 정수 덧셈의 항등원 입니다.
4. 역원: a + (-a) = 0 : 각 정수 에 대해 그 역원은 −a 입니다.